Ecuacion de Laplace y Teorema de la unicidad





Introduccion


En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace. Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como la astronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.
La ecuación de Laplace se define como:
Δu = 0
donde Δ es el operador laplaciano, y u; son funciones reales o complejas.La ecuación de Laplace se trata de un caso particular de la ecuación de Poisson:
Δu = f cuando la función f es cero.
A las funciones soluciones de la ecuación de Laplace se les llama funciones armónicas. Aplicada al estudio de los campos electromagnéticos, podemos obtener mediante ésta ecuación el campo eléctrico formado por una carga. Una carga conocida con una distribucion espacial de una forma general se puede utilizar la ley de Coulomb y asi obtener la suma vectorial de los campos de todas las cargas puntales que forman la distribución. En casos donde se involucran distribuciones de cargas simétricas, la ley de Gauss a veces es útil para obtener el campo con mayor rapidez. Tambien la intensidad del campo eléctrico puede obtenerse indirectamente evaluando el campo del potencial asociado con una distribucion de carga Q localizada en r donde se involucra sólo la distancia del |r-r1| y después calculando el gradiente negativo del resultado para obtener el valor del campo E.















Deducción de la ecuación de Laplace


La ecuación de Laplace se obtiene a partir de la forma puntual de la ley de Gauss:

CodeCogsEqn2.gif

De la definición de D

CodeCogsEqn3.gif

Y de la relación de gradiente

CodeCogsEqn4.gif

Por sustitución se obtiene

CodeCogsEqn5.gif
o
CodeCogsEqn6.gif

Para una región homogénea en el que ϵ es constante.
La operación CodeCogsEqna.gif se abrevia escribiendoCodeCogsEqn(2a).gif ; esa abreviatura es una buen recordatorio de las derivadas parciales de segundo orden, por lo tanto:

CodeCogsEqn7.gif

En coordenadas cartesianas.
Si CodeCogsEqn(9a).gif, lo que indica una densidad de carga volumétrica 0, pero se permite que existen cargas puntuales, densidad de carga lineal y densidad de carga superficial como fuentes de campos localizadas en lugares bien definidos, entonces.

CodeCogsEqn(4a).gif

Que constituye la llamada ecuacion de Laplace. La operación CodeCogsEqn(2a).gif se llama el Laplaciano de V.
En coordenadas cartesianas la ecuacion de Laplace es:

CodeCogsEqn(5a).gif

La forma deCodeCogsEqn(8a).gif en coordenadas cilíndricas y esféricas puede obtenerse usando las expresiones de la divergencia y del gradiente, obtenidas para dichos sistemas de coordenadas.
Como referencia el Laplaciano en coordenadas cilíndricas es:

CodeCogsEqn(6a).gif

Y en coordenadas esféricas es:

CodeCogsEqn(7a).gif

La ecuación de Laplace abarca mucho, dado que, como se aplica a todos los casos en los cuales la densidad de carga volumétrica es cero, asegura que cualquier configuración concebible de electrodos o conductores produce un campo para el cual CodeCogsEqn(4a).gif. Todos estos campos son diferentes, con diferentes valores de potencial y diferentes razones de cambio especiales, sin embargo para cada una de ellas CodeCogsEqn(4a).gif , puesto que todo campo CodeCogsEqn(3a).gif satisface la educación de Laplace, parece imposible esperar que pueda invertirse el procedimiento y usar tal ecuación para encontrar un campo especifico en el que se tenga interés. Sí puede lograrse, solo que para ello se requiere más información, y la ecuación de Laplace debe resolverse sujeta a ciertas condiciones de frontera.
Antes de aplicar la ecuación de Laplace es necesario detenerse un momento para determinar que una respuesta satisface la ecuación de Laplace y las condiciones de frontera, entonces esta es la única respuesta posible.


Teorema de la Unicidad


Dado un volumen v con una superfice cerrada S; solamente existe una funcion v(x,y,z) con valores en S (los valores o condiciones de frontera) que satisface la ecuacionde Laplace. Este teorema permite establecer parametros del potencial en una region libre de cargas si el potencial sobre la superficie de esa region es conocido.

Al suponerse que se tienen dos soluciones de la ecuación de Laplace V1 y V2 ambas funciones generales de las coordenadas utilizadas. Por consiguiente,

CodeCogsEqn.gif Y CodeCogsEqn(2).gif

de lo cual:

CodeCogsEqn(3).gif

Cada solución debe satisfacer también las condiciones de frontera, y si se representan los valores del potencial sobre las fronteras Vb , entonces el valor de V1 de sobre la frontera es V1b y el valor de V2 sobre la frontera es V2b , y ambos de ben ser idénticos a Vb:

CodeCogsEqn(4).gif

O

CodeCogsEqn(5).gif

Utilizando la identidad vectorial

CodeCogsEqn(6).gif

La cual es valida para cualquier escalar V y cualquier vector D. en la presente aplicación se seleccionara V1- V2 como el escalar, y CodeCogsEqn(2a).gif(V1- V2) como el vector, es decir,

CodeCogsEqn(7).gif

Esta expresión debe integrarse sobre todo el volumen encerrado por las superficies de frontera especificadas:

CodeCogsEqn(8).gif

Esta superficie tiene fronteras ya especificadas en las cuales V1b= V2b por consiguiente

CodeCogsEqn(9).gif

Uno de los factores de la primera integral se anula, por consiguiente la integral de volumen restante queda igualada a cero:

CodeCogsEqn(11).gif

Existen dos razones por las cuales una integral se anula: el integrando es cero en todo punto, o el integrando es positivo en unas regiones y negativo en otras, de manera que las contribuciones se cancelen algebraicamente. En este caso la primera razon es la que es valida ya que CodeCogsEqn(12).gif no puede ser nagativo. Por lo tanto,

CodeCogsEqn(13).gif
y

CodeCogsEqn(14).gif

Por ultimo si el gradiente de CodeCogsEqn(17).gif es cero en todas partes, entonces CodeCogsEqn(17).gif no puede cambiar con ninguna de las coordenadas y

CodeCogsEqn(15).gif

El valor de la constante se determina con faciliad considerando un ounto sobre la frontera. En donde CodeCogsEqn(18).gif, lo que indica que la constante es cero, por lo tanto

CodeCogsEqn(16).gif

Se puede concluir entonces que las dos soluciones de esta ecuación son iguales para toda superficie..


Solucion de Laplace


Antes de resolver la ecuacion de Laplace se debe tener en cuenta tres cosas las cuales indican que la solucion de la ecuacion es unica, es decir, que cumple el Teorema de la Unicidad:
  • La ecuacion diferencial apropiada CodeCogsEqn(4a).gif , es decir, la Ecuacion de Laplace en un material NO homogéneo en el que CodeCogsEqn(3a).gif.
  • La region o superficie de solución.
  • Las condiciones de frontera.

Procedimiento Para Resolver La Ecuacion de Laplace


1. Resolver Laplace CodeCogsEqn(3a).gifaplicando:
  • Integracion directa cuando V solo dependa de una coordenada (x,y,z,θ,φ,ρ,r)
  • Separacion de variables si V ya no es funcion de una sola variable (aqui la solucion ya no es unica ya que depende de las otras constantes de integracion desconocidas).

2. Aplicar las condiciones de frontera para determinar la solucion única para V.

3. Luego obtener V y obtener el campo electrico por medio de CodeCogsEqn4.gif


Referencias


  • William H. Hayt, Jr. "Teoria electromagnética" Septima edicion,McGraw-Hill
  • Jhon D. Kraus.:"Electromagnetismo",Tercera Edición,McGRAW-HILL, México 1986.



Editado por:

Alejandro Ramirez Villa 208053
Jason David Tabares C. 208059

Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
2010