MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES


SEPARACIÓN DE VARIABLES


Otro de los métodos aproximados para resolver problemas de potencial tipo Poisson o Laplace, es el de solucionar esas ecuaciones diferenciales en todas las variables de un sistema coordenado;
Ejemplo: V(x,y,z) en coordenadas cartesianas.
Este sistema, con el de esféricas y el de cilíndricas son los mas comunes de los once sistemas coordenados.
Para ilustrar el método, consideremos en primer lugar el caso de las coordenadas cartesianas y, a continuación, veremos el caso de las coordenadas esféricas y cilíndricas.



Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
El problema que vamos a tratar de resolver es el de hallar un potencial que verifique la ecuación de Laplace

en un dominio limitado por superficies sobre las cuales se conoce el valor del potencial (c.c de Dirichlet) o de su derivada normal (c.c de Neumann).
Dado que la ecuación de Laplace es lineal, la solución de la misma puede escribirse como combinación lineal de soluciones particulares



siendo cada una de las



mas simple que la solución completa. En particular, buscamos funciones que se puedan expresar como producto de funciones de cada variable



Esta factorización es útil cuando el recinto posee fronteras que se pueden expresar de forma simple en función de estas coordenadas; en particular, para el caso de un paralelepípedo orientado segun los ejes. En este caso, cada una de las paredes viene dada por la ecuación del tipo xi = cte, con lo que uno de los tres factores se hace constante. No sera útil cuando el dominio no posee una forma sencilla en cartesianas, como es el caso de una esfera.
Dado que


verifica la ecuación de Laplace


Si sustituimos y dividimos por el producto XYZ resulta



Cada uno de los sumandos es función exclusivamente de una sola coordenada, y puesto que está ecuación debe satisfacerse para todos los valores de x, y, z, cada uno de ellos debe ser igual a una constante,








Con la condición



Las cantidades Kx,Ky,Kz, llamadas constantes de separación, serán en general números complejos. Es posible, no obstante, hacer una clasificación según sus valores.

Primer Caso: en que Kx=Ky=Kz (constantes de separación nulas). En este caso, las ecuaciones se reducen a


cuya solución de la forma



Este tipo de soluciones es importante cuando tenemos problemas en los que las c.c poseen simetria respecto a algunas de las variables.
En el caso en que C1 = C2 =C3, el potencial se reduce a


que corresponde a un campo constante





EJEMPLO
Determínese el potencial para el caso simple de dos placas planas y paralelas situadas a una distancia d. Las placas se extienden indefinidamente en las direcciones x e y. El potencial vale


para la placa situada en z = 0, mientras que para la situada en z = d es




Solución: Por la simetria del problema podemos suponer que el potencial no depende ni de x ni de y, lo que equivale a hacer X = Y = 1 y el potencial es

De las c.c. resulta la solución conocida



y el campo, constante, es




Segundo Caso: en que


o similar. Supongamos por simplicidad que

En este caso, las soluciones individuales son de la forma



o una combinación de dos de ellas,





En este caso la solución particular será un producto de tres de las funciones anteriores.


EJEMPLO
Considérese un prisma de base cuadrada que se extiende indefinidamente en la dirección z.Tres de las caras del prisma, las situadas en y = 0, y = d, x = 0 se encuentran a tierra,


, mientras que la última, situada en x = d, posee un potencial dado por

¿Cuál es el potencial en todos los puntos del interior del prisma?

Solución: Las c.c. son independientes de z, por lo que podemos admitir que el potencial no depende de esta coordenada, esto es, Z(z) = 1. Si buscamos una solución de la forma




necesitamos una función Y(y) que se anule en y = 0 e y = d. Dicha función puede ser una de las anteriores si



En general, si


;por tanto



mientras que la función X(x) debe anularse en x=0. Esto da



y, por tanto,




por lo que,



Esto da las tres ecuaciones







De nuevo, tenemos diferentes casos, segun los valores de las constantes.

Un análisis completo de este problema implica el examen de multitud de casos. Aquí nos limitaremos a un caso concreto, pero importante, a saber, aquél en que:
-La solución no depende de la coordenada z, esto es, la función Z = 1.
-El rango de variación de


se extiende desde
debiéndose imponer que el valor de la función y sus derivadas en ++++ sea el mismo, pues ambos valores representan el mismo punto físico.
-Esto nos reduce a las dos posibilidades siguientes:

Constantes de Separación nulas

tercer caso: En que


En este caso quedan las ecuaciones



cuyas soluciones son de la forma



siendo la solución particular el producto de las tres.

cuarto caso: En que




En este caso los problemas pueden reducirse a otros coordenadas polares bidimensionales. Las ecuaciones que deben cumplir con R y (phi) son



En La solución para (phi) puede ponerse en forma de combinación de exponenciales que serán reales o imaginarias dependiendo delsigno de


cuyo valor vendra determinado, a su vez, de las condiciones de contorno sobre (varphi)



En la mayoria de los casos, (varphi) puede abarcar todos los valores posibles, desde



En este caso, es necesario imponer las condiciones de continuidad de la función y de sus derivadas




ya que



representan el mismo punto fisico. En este caso, la solución debe ser de la forma



o una combinación arbitraria de dos de ellas. Además,




La ecuación para R se reduce entonces a




Esta es una ecuación equidimensional cuya solución es de la forma



El valor de p se obtiene sustituyendo en la ecuación, resultando



o una combinación de las dos.
Para m=0 se tiene que la solución es de la foma



La solución general para



será entonces







Solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas esféricas

La ecuación de Laplace en estas coordenadas es




suponiendo





y aplicando el método ya empleado de asilar las funciones que dependen de cada variable, se llega a las ecuaciones separadas







Las constantes de separacion se suelen llamar



por que así se simplifican los resultados. No obstante, pueden tener cualquier valor, positivo, negativo o complejo.

Si tanto m como l son cero, las ecuaciones se reducen a otras más simples cuyas soluciones son de la forma







un producto de estas
funciones es solución de la ecuación de Laplace

EJEMPLO

Determínese la distribución de potencial entre dos esferas conductoras situadas a distinto potencial.
Solución: En este caso, la solución no depende ni de (phi) ni de (varphi) y el resultado es de la forma




con a y b a determinar de las condiciones




Fácilmente se reconoce en esta solución la suma de un potencial constante más el de una carga puntual equivalente.




Solución de la Ecuación de Laplace
en
Coordenadas Cilíndricas

En el siguiente archivo se encontra el desarrollo de la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas como también ejemplos para los diferentes casos.






EJEMPLO DEL METODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES CON ECUACIONES DIFERENCIALES







REFERENCIAS

  • Campos electromagnéticos 2ª Edición, escrito por Marcelo Rodríguez Danta, Antonio González Fernández, Consuelo Bellver Cebreros. 2ª Edicion. UNIVERSIDAD SE SEVILLA. pag 123.
  • Griffitths, David J (David Jeffrey). Introduction to electrodynamics / David J. Griffths - 3rd ed.


AUTORES

  • JULIÁN ANDRÉS ARANGO LÓPEZ Cod. 207002
  • CRISTIAN LORENZO TORO BAENA Cod. 207050
  • CÉSAR DANIEL LOZANO Cod. 207029

  • CARLOS HERNAN NASTAR BRAVO Cod. 209542
  • DANIEL FELIPE GARCIA CARDENAS Cod. 4001006